Hvordan man kan udlede Integral Volumen af en Hypersphere

Bare en cirkel er det sæt af alle punkter i et todimensionalt plan lige langt fra et centralt punkt, og en kugle er det sæt af alle punkter i tre dimensioner lige langt fra et centralt punkt i matematik der findes analoge strukturer , kaldet hyperspheres , i dimensionale rum større end tre, er det sæt af alle punkter lige langt fra et centralt punkt. Derfor kan ligesom den integrerede volumen af en kugle i tre dimensioner afledes med kalkyle, så kan de integrerende mængderne af disse højere -dimensionelle figurer. Instruktioner
1

Definer koordinatsystem, som vil blive brugt i problemet. Selvom enhver koordinatsystem kan gøres for at arbejde , en variation af sfæriske polære koordinater fungerer bedst. Som et eksempel, i et n-dimensionalt rum, definerer r som afstanden til midtpunktet , theta som azimutale vinkel og phi1 , phi2 ... phi (n- 2), som kantede koordinater fra 0 til pi radianer.
2

Skriv den grundlæggende volumen integral over hele hypersphere . Dette vil være integreret fra 0 til nogle radius R for r , og over hele den mulige vinkler for hver kantet koordinere 0 til 2Pi for theta og 0 til pi for de resterende variable. De multiple integraler er taget af 1 over volumen element .
3

Udskift volumen element med de relevante vilkår regnet fra Jacobi determinant. For eksempel, for en hypersphere i fire dimensioner , vil det være : .

R ^ 3 synd ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

For mere hjælp computing Jacobi henvises til den relevante ressource linket.
4

Skriv ned det endelige svar efter at have taget hver integreret i hinanden. I vores eksempel på den fire -dimensionale hypersphere det endelige svar er : .

(Pi ^ 2/2) * radius ^ 4
hoteltilbud