Hvad Er Afvigelse af en skalar Vector

Vector calculus indtager en vigtig plads i teknik og fysik på grund af tre bestemte operatører : ? Gradient , divergens og krølle . Divergensen operatør foranstaltninger en vektor feltets kilde eller synke størrelsesorden på et givet punkt . Selvom vektorfelter binder numeriske værdier med retningsbestemte indikatorer divergens er en skalar resultat . Det er en kvantitativ måling for udadrettede flux i en vektor felt hidrørende fra en kilde . Divergens beregninger kan vise sig at være konceptuelt vanskelig , men de er ikke umuligt at mestre. Forståelse Math

For at forstå divergens matematiske manifestation , først overveje en differentiabel vektor-funktion v ( x, y, z) hvor x , y og z er retvinklede koordinater . Endvidere lader v1, v2 og v3 være komponenter v. Divergens af en vektor felt er prikproduktet mellem divergens operatør og funktionen vektorfelt . Formlen for divergens af vektoren feltet v kan derfor defineres som : Hej

div v = (& side; v1 /& side; x ) + (& side; v2 /& del y ) + (& side; v3 /& del ; z )

Afvigelse kan forstås som den partielle afledede af hver komponent med hensyn til dets kartesisk koordinatsystem fly. Dot produkter giver skalar løsninger. Den divergens operatør giver derfor en skalar løsning fra en vektor felt , hvilket tyder på div v for at være en retningsløs indikation størrelsesorden .
Én større Assumption

Det grundlæggende koncept bag divergens gør et stort antagelse , at der i en funktion , der kendetegner en fysisk eller geometrisk egenskab værdier er uafhængige af særlige valg af koordinater. I virkeligheden er dette tilfældet. Passiv flux antages at bevæge sig væk fra kilden med relativ ensartethed. Afvigelse kan forstås som en kvalitativ sats for denne flux eller strøm .
Invarians af Afvigelse

Værdier for div v afhænger af punkter i rummet og den tilhørende matematiske funktion . Værdier er invariante med hensyn til at koordinere transformation. Valg af et andet valg til de retvinklede koordinater x * , y * og z * og tilsvarende komponenter v1 * v2 * og v3 * for funktion v vil resultere i den samme ligning . Denne invarians af divergens fortsat er en vigtig sætning forbundet med denne særlige operatør

Med hensyn til andre koordinater i vektoren feltet og deres tilsvarende funktion komponenter , beregning divergensen forbliver den samme : . Afvigelsen er dot produkt mellem operatøren og vektoren felt eller den partielle afledede af hver komponent med hensyn til dets kartesisk koordinatsystem fly.
taget til det næste niveau

Afvigelse spiller en stor rolle i avanceret calculus. Operationen ligger bag en af ​​de "store" integrerede sætninger , der kan anvendes til at transformere utroligt komplekse beregninger til mere rimelige problemer. Denne procedure er kendt som Afvigelse Sætning af Gauss .

Forestil dig en lukket afgrænset område i rummet , kaldet T, med en stykkevis glat overflade S for sin grænse. Antag n er den ydre enhed normale vektor af overfladen S. Lad vektorfunktionen F (x , y, z) både være kontinuerlig og har kontinuerte første partielle afledede i nogle domæne indeholdende T. Afvigelse Sætning Gauss fastslår den tredobbelte integral af afvigelsen i F over en volumen kan sidestilles med det dobbelte integral af prikprodukt mellem F og n over et område . Således kan komplekse volumen integraler blive omdannet til mere håndterbare overflade integraler gennem en forståelse og ekstrapolation af divergensen af en vektor felt .
Clipart